Что если аккумулятор постоянно заряжается? (постоянно включён в сеть в смысле) . Не вредит ли это ему?

Аккумуляторы бывают разные, как и разные схемы зарядки!

смотря какой. .
если литий - то у него встроенный контроллер (сам включит и сам отключит)
если кислотник, или никель кадмий, или металл гидрид - со временем воткнут..

Вот только долго-ли протянет зарядное устройство.

Напрямую зависит от схемы зарядки! Элементарный пример-UPS. Источник бесперебойного питания. Зарядка (контроль, периодичность, уровень) постоянно контролируется "контроллером" зарядки. Работают не выключаясь годами.

Паспорт на аккумулятор смотреть надо. Обычно непрерывный режим зарядки вреден для аккумулятора, а вот недавно смотрел паспорта на аккумуляторы для безперебойников написано что срок службы при периодической зарядке меньше чем при постоянно подзаряжаемого .

навредить не навредит, но и хорошего мало - аккумуляторы работающие по буфферной схеме протягивают всего лет 3-5 потом их (аккумуляторы) утилизируют = подробнее в литературе по "обслуживанию аккумуляторов"

Смотря где, т. е. в каком устройстве заряжается.. .