как правильно произносить клеёный или клееный (брус) и почему?

Потому что при произношении нужно ориентироваться на Словарь ударений (где клеЁный) .

А при написании нужно клЕЕный:

§ 10. Буква ё пишется в следующих случаях:

1. Когда необходимо предупредить неверное чтение и понимание слова, например: узнаём в отличие от узнаем; всё в отличие от все; вёдро в отличие от ведро; совершённый (причастие) в отличие от совершенный (прилагательное) .
2. Когда надо указать произношение малоизвестного слова, например: река Олёкма.
3. В cпециальных текстах: букварях, школьных учебниках русского языкa, учебниках орфоэпии и т. п. , а также в словарях для указания места ударения и правильного произношения

(действующие Правила русского языка)

На фото – единодушие всех словарей: клеЁный.