Танюша
Ремонтировать. если он действительно не работает.
hdmi выход можно отключить (включить) через биос (у меня так, встроенная)
А может кабель ?
раз вы в домашних условиях опредилили что hdmi выход действительно сломан, нет проблем с драйвером, кабелем, в настройках всё правильно включено, ТВ настроен правильно, и тд и тп, то и отремонтировать вы его сами можете!! !
ЗЫ: сори за сарказм 
Отнести видеокарту к специалисту, который может точно сказать что и как не работает.
по сути что VGA что HDMI одно и тоже болото. и второй вариант болие проблемный. у меня в каждом устройстве картинка какаето рахитная через второй вариант. а может и кабель такой купил!!!