Дело в том, что я не помню. У меня договора на руках нет. А что я могу потребовать? Как оргументировать правильно Зав. ДС?

Договор должен быть у вас на руках и заведующей ДС.
Аргумент должен быть один - в школу у нас берут с 6,5 лет. Раньше только по согласованию с администрацией школы. Если на 1 сентября вам не будет 6,5 лет - тогда оставайтесь в саду.
С заведующей не надо вообще разговаривать - пусть письменно напишет приказ о вашем отчислении из ДС.