Вопрос по свойству монотонных функций: f(x)=g(g(x))

Question

Помогите найти доказательство того факта:
f(x)=x представляет собой g(g(x))=x, где g(x) -мон. функция, то f(x)=x<=>g(x)=x, x прин D(f(x));
То есть если
( (x-5)^1/2 -5 )^1/2 = x <=>(x-5)^1/2=x, x>=5
Данное свойство показано в учебнике Никольского 11-ого класса, но даже в книжке для учителя нет доказательства.
Понятно, что без использования этого свойства жить можно, и случай настолько редкий, что встретить его где-то, кроме как в примерах применения очень сложно, но хочется увидеть доказательство.

Егор Филиппов · Accepted Answer

Обозначим конкретную точку числовой прямой (хотя, все рассуждения верны и для произвольного упорядоченного множества) через Xo, чтобы не путать её с переменной X, принимающей любые значения из области определения функции f. 
 
В обратную сторону ( f(Xо) =Xo <= g(Xo)=Xo ) доказательство тривиально: если Xo таково, что g(Xo)=Xo, то просто подставляем это в формулу для f(Xo) и получаем g(g(Xo))=g(Xo)=Хo (независимо от монотонности g(x)). 
 
Однако утверждение g(g(Xo))=Xo => g(Xo)=Xo верно лишь для монотонных неубывающих функций. Ошибочность утверждения в случае убывающей функции g(x) показывает простой пример g(x)=-x для точки Xo=1: g(g(1))=g(-1)=1, тогда как g(1)=-1 
 
Доказательство g(g(Xo))=Xo => g(Xo)=Xo для неубывающей g(x) тоже довольно простое. 
Функция g(x) неубывающая. Это означает, что если X1≤X2, то g(X1)≤g(X2). 
Предположим, что выполняется не строгое равенство, а лишь неравенство g(Xo)≤Xo. Применяя функцию g к обеим частям этого неравенства и используя свойство неубывания, получим: 
g(g(Xo))≤g(Xo). Комбинируя с исходным предположением получаем g(g(Xo))≤g(Xo)≤Xo. Но по условию g(g(Xo))=Xo, что возможно только если g(g(Xo))=g(Xo)=Xo. 
 
Предположение g(Xo)≥Xo приводит к аналогичным рассуждениям.