Имя твоё- птица в руке, имя твое – льдинка на языке. почему ставит тире?

Ну а если с пунктуационной стороны, то подлежащее и сказуемое выражены существительным.

Роль тире - создание образа при помощи метафоры, сравнения без сравнительного союза.

Если это вопрос по русскому - между подл. и сказ. Если по литературе - здесь почитай https://www.kritika24.ru/page.php?id=71086