краснеет лицо, иногда горит.. . может ли это быть аллергией на кошку и вообще на животных?

Скорее всего это она и есть, хотя может быть приливом крови от других причин. Выпейте средство от аллергии, посмотрите на эффект. Обратитесь к врачу.

Может. Сходите к аллергологу и сдайте анализы.
А что б пока не мучаться - купите Превалин. Это спрей для носа как раз против такой аллергии.