Может ли следователь собирать характеризующий материал на потерпевшего?

это его прямая обязаность.

Обязательно!

но и должен

В соответствии с п. 3 ч. 1 ст. 73 УПК РФ при производстве по уголовному делу подлежат доказыванию обстоятельства, характеризующие личность обвиняемого. Поэтому без соответствующего, как вы выразились, характеризующего материала прокурор не должен утверждать обвинительное заключение.

Если в этом есть необходимость, то конечно да, следователю в рамках расследования уд виднее!!