допустимо ли верующему умерщвлять тяжело больное или старое животное?:

Умерщвлять - само по себе дело плохое. И ещё 6-ая заповедь: Не убей!

Нет не грех, вы же на охоте можете их убивать для пищи, а прекратить муки если вылечить нет возможности, это даже благородно.

А при чём здесь религия, если требуется хоть какое-то собственное мнение ?

если допустимо умерщвлять для употребления в пищу, то наверное допустимо и для избавления от мучений.

Коней получивших тяжелую травму и не имея возможности их лечить .. брать с собой (например при отступлении) разве не пристреливали (в старину атеистов не было) ?

конечно. и просить милости у бога.

все животные отданы во влавствование человеку так вот и влавствуйте с мудростью и разумением