Помогите исследовать на сходимость интеграл: [от 1 до +бесконечности] от функции sin^2(x)/x

Расходится.

Воспользуйтесь признаком сравнения в предельной форме. Сравнить можно с функцией 1/x, которая расходится. Предел отношения этой функции и подинтегральной, при x->бесконечности конечен и не равен нулю, а значит подинтегральная функция имеет такую же сходимость, как и 1/x, т. е. расходится.