в каких случаях возможно написать письмо-приглашение не на фирменном бланке?

Если официальное приглашение от предприятия, то на фирменном бланке с регистрацией в журнале исходящих. Если неофициально, то на любой бумажке.
Если индивидуальное лицо, то простом листе, открытке и т. п.