Доказать, что луч CM, где С - вершина прямого угла а М центр квадрата построенного на гипотенузе является бисектрисой.

Рассмотрим четырёхугольник, образованный катетами треугольника и половинками диагоналей квадрата, которые доползают до вершин этого треугольника. В этом четырёхугольнике два угла прямые по жизни. Стало быть, сумма двух оставшихся тоже равна 180 град. А раз суммы противоположных углов равны, то вокруг такого треугольника можно описать окружность, причём не штука увидеть (а при некотором навыке и доказать) , что гипотенуза - диаметр этой окружности. И луч СМ вместе с вершинами треугольника отсекает на этой окружности равные дуги _просто потоу, что там хорды равны. А если вписанные углы опираются на равные дуги, то они и сами равны.