Может ли днём увольнения работника по собственному желанию быть его выходной день?

Очень даже может. Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении. А 14-ый день может выпасть на какой угодно день Вашего графика.