должен ли платить каждый из наследников платеж за написание заявления на принятие наследства или платит тот кто первый?

Тот кто первый платит за себя, все остальные то же за себя оплачивают

Платит каждый и за принятие наследства (до 6 месяцев) и за свидетельство о праве на наследство (по истечение 6 месяцев со дня открытия наследства).