если меняешь место жительства, обязательно ли переригистрировать авто по новому адресу?

Да, обязательно.

3. Собственники транспортных средств либо лица, от имени собственников владеющие, пользующиеся или распоряжающиеся на законных основаниях транспортными средствами (далее именуются - владельцы транспортных средств), обязаны в установленном порядке зарегистрировать их или изменить регистрационные данные в Государственной инспекции, или военных автомобильных инспекциях (автомобильных службах), или органах гостехнадзора в течение срока действия регистрационного знака "Транзит" или в течение 5 суток после приобретения, таможенного оформления, снятия с учета транспортных средств, замены номерных агрегатов или возникновения иных обстоятельств, потребовавших изменения регистрационных данных.