Можно ли передать руководителю заявление на увольнение, через второе лицо например мужа.

Можно даже письмом

А почта с уведомлением о получении уже не устраивает?

А обходной лист кто будет оформлять?

Можно. Нигде не сказано, что вы должны передать заявление лично в руки. Главное, чтобы потом у вашего руководства не возникло вопросов: - "куда это вы вдруг пропали и почему вас уже месяц нет на работе, а заявления они никакого не видели. "
Возьмите подпись в получении на копии заявления.

Нужно просмотреть трудовой договор, возможно есть отработка определенное время.

Письмом с уведомлением. Через мужа оно может "потеряться", если не зарегистрировать в отделе кадров или канцелярии:)