Задача по геометрии. Взываю к вашему милосердию!

Question

Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. 
Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 8, тангенс угла 
BAC равен 4/3. Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC.

Буфет · Accepted Answer

<img src="http://photo.sprashivalka.com/orig/" width="" height=""> 
 
1) &#916; АВС - прямоугольный; tgВ=1/tgА=3/4. Кроме того, &#916; АВС - египетский, у которого отношения сторон составляют 3:4:5 
2) ОН - радиус малой окружности О; 
3) ВО - биссектриса <В; 
4) &#916; ВНО - прямоугольный; <ОВН=0,5*<АВС; 
5) Тангенс половинного угла по формуле: tg(В/2)=(1-cosВ) /sinВ; 
6) cosВ=4/5; sinВ=3/5; 
7) tg(В/2)=(1-4/5)/(3/5)=1/3; 
8) ВН=ОН/tg(В/2)=8/(1/3)=24; 
9) &#916; СРВ - прямоугольный; <РСВ=<А; 
10) &#916; СНО - прямоугольный; <ОСН=0,5*(<РСВ) =0,5*<А; 
11) Тангенс половинного угла по формуле: tg(ОСН) =(1-cosА) /sinА; 
12) cosА=3/5; sinА=4/5; 
13) tg(А/2)=(1-3/5)/(4/5)=1/2; 
14) СН=ОН/tg(А/2)=8/(1/2)=16; 
15) ВС=ВН+СН=24+16=40; 
16) АС=ВС/tgА=40/(4/3)=30; 
17) АВ=50; по любой из формул: синуса, косинуса или отношений в египетском треугольнике. 
18) Радиус вписанной в треугольник окружности находится по формуле: 
r=&#8730;(((Р-а) *(Р-в) *(Р-с)) /Р) ; 
Где а, в, с - стороны &#916;АВС, Р - полупериметр &#916;АВС =(а+в+с) /2; 
19) Р=(30+40+50)/2=60; 
20) r=&#8730;((Р-а) *(Р-в) *(Р-с)) /Р=&#8730;((60-30)*(60-40)*(60-50))/60=&#8730;(30*20*10/60)=&#8730;100=10; 
Ответ: найденный радиус вписанной в треугольник АВС окружности равен 10. 
Желаю успеха!