Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырехугольника KPCM. СПАСИБО ЗАРАНЕЕ ОГРОМНЕЙШЕЕ, ДАЮТ ОЧЕНЬ МНОГО БАЛЛОВ
Рустам, СПАСИБО!!!!
А в ГИА именно эту задачу зададут? На баллы менее 10 не соглашусь. Самому прийти или вышлют?
Медиана делит площадь треугольника на две равные части. Если обозначить плошадь АВС через S, то пл. АВМ= S/2. В треугольнике АВМ АК тоже медиана. Поэтому пл. АВК= пл. АВМ/2= S/4. Далее, пл. КРСМ= пл. МВС- пл. ВКР= S/2- пл. ВКР. Через точку М проводим прямую, параллельную АР до пересечения сторону ВС в точке Т. В треугольнике АРС МТ средняя линия. Поэтому МТ= АР/2. В треугольнике ВМТ КР средняя линия. Поэтому КР= МТ/2= АР/4. АК= АР- КР= АР- АР/4= 3AР/4. То есть КР : АК= 1/4 : 3/4= 1 : 3. Легко убедиться, что в каком отношении делит сторону АР точка К, в таком же отношении делит площадь АВ отрезок ВК (высота от точки В к стороне АР одинакова для треугольников АВК и ВКР) . Поэтому пл. ВКР= пл. АВК/3= S/12. Учитывая это в выражении для пл. КРСМ, находим: пл. КРСМ= S/2- S/12= 5S/12. Тогда искомое отношение площадей пл. АВК : пл. КРСМ= S/4 : 5S/12= 1/4 : 5/12= 3/5.
⇢