если прописаться в другой квартире, со старого места обязательно нужно выписаться? (города разные в одной области)

Подаете документы на ПОСТОЯННУЮ регистрацию по новому месту жительства, а со старого Вас выпишут автоматически. Никаких документов туда подавать не нужно и даже ехать туда не нужно.
Если же по новому месту жительства Вы оформляете ВРЕМЕННУЮ регистрацию, то со старого места жительства выписываться не надо.

можно сделать временную регистрацию.

Со старого выписывают автоматически