Можно ли выписать несовершенолетнего ребенка из частной квартиры?

Можно... но только с его родителями (по решению суда) или по их согласию и с одним из них (родителем). И если данный н/л ребенок не является собственником этой квартиры.

куда прописывать будите? только с местом

Только через суд, если нет для этого препятствий.