Может ли забитость жёсткого диска служить причиной того, что отключается компьютер при играх?

причиной выключения компьютера скорее всего является перегрев видеокарты либо процессора
может помочь замена термопасты на процессоре
сними крышку с компьютера
купи доп куллер
может помочь простая чистка системного блока от пыли
На жесткий можешь даже не думать

нет, почисти ПК от пыли. Либо же просто перегревается одна из частей ПК (видеокарта, процессор что либо еще)

У меня был битый блок на HDD из-за этого перегружалась Винда но для начала сделай то что предлагает [ Николай Фирсов ]

и ещё проверить HDD можно заглянув программой smartctl в специальной таблице ПЗУ содержаться сообщения о сбоях HDD

нет
Возможные причины по мере убывания вероятности
1. Не качественный или слабый БП
2. Неисправная материнская плата
3. Неисправное ОЗУ
4. Левая ОС
5. Тупой пользователь. 1000+1 самая невероятная причина

такое было, когда пошабашила видеокарта.
обратитесь лучше в с\ц, с вашими знаниями так будет дешевле