Что имеют право проверить у предпринимателя и кто такие эти органы местного управления?

Органы местного самоуправления не являются органами государственно власти. Они отдельно от гос. власти. Это органы местной власти
Закон 2003 г Об общих принципах организации местного самоуправления в РФ

Статья 2.
Местное самоуправление в Российской Федерации - форма осуществления народом своей власти, обеспечивающая в пределах, установленных Конституцией Российской Федерации, федеральными законами, а в случаях, установленных федеральными законами, - законами субъектов Российской Федерации, самостоятельное и под свою ответственность решение населением непосредственно и (или) через органы местного самоуправления вопросов местного значения исходя из интересов населения с учетом исторических и иных местных традиций.

Вам, как предпринимателю, необходимо иметь постоянно под рукой Федеральный закон от 26 декабря 2008 г. N 294-ФЗ "О защите прав юридических лиц и индивидуальных предпринимателей при осуществлении государственного контроля (надзора) и муниципального контроля".
В нем четко регламентировано когда и какие органы имеют право проверять предпринимателей.