Можно ли оформить покупку квартиры в юстиции, если в паспорте нет прописки?

У вас. же все равно должно быть хоть временная регистрация. Какой они адрес будут писать при оформлении документов?

В договоре купли-продажи укажите адрес Вашего фактического проживания (просто с Ваших слов)
Этот адрес и будет стоять в свидетельстве о госрегистрации.
Если раньше была где-то прописка, можно написать -проживающий по тому адресу (не зарегистрированный. а проживающий)