Ряд Тейлора (Маклорена)

Здравсвтуйте! Не очень получается понять, что значит разложить в ряд в окрестности точки a. Это значит что x=>a? То есть получается найдется какое то эпсилон, определяющее, с какой точностью ряд будет аппроксимировать функцию и соответственно чем шире окрестность, тем больше будет погрешность?

И если это так, то я понимаю, почему с помощью разложения в ряд можно посчитать предел, но как тогда посчитать значение функции от какого либо действительного числа? Получается, если взять разложение в ряд Маклорена при x=1000, то полученное значение будет далеко от значения исходной функции?

Если написал бред, извините, искренне пытаюсь понять) )