На плоскости нарисован круг и три семейства прямых: в одном — 19 параллельных между собой прямых, в другом — 23 параллельных между собой прямых, в третьем — 36 параллельных между собой прямых. На какое наибольшее число частей прямые могут разбить круг?
Когда проводится первое семейство прямых, круг разбивается максимум на 20 частей -- при условии, что каждая из прямых пересекает его по отрезку. Когда проводится одна из прямых второго семейства, то она пересекает максимум 19 линий первого семейства. Если при этом она пересекает круг по отрезку (чего легко добиться) , то отрезок разбивается на 20 частей, и каждая из них разбивает на две части одну из предыдущих областей разбиения. Это значит, что при проведении очередной прямой добавляется максимум 20 частей, а после проведения 23 прямых к уже имеющимся 20 частям добавится не более 460. Легко видеть, что максимальное значение достигается: достаточно располагать прямые на близком расстоянии от центра, и тогда хорды, не параллельные друг другу, будут пересекаться во внутренней точке. Теперь рассмотрим прямую третьего семейства. Она может пересечь максимум 19+23=42отрезка, добавив при этом 43 новых части. Добиться того, чтобы такое число достигалось, можно этим же способом, но при этом надо избегать тройных точек пересечения, что всегда возможно, так как количество точек пересечения конечно. В итоге к имеющемуся количеству добавится максимум 43?36 новых частей, и максимальное значение опять же достигается. Остаётся сложить всё, что получилось. То есть нужно просуммировать 20 + 460 + 43 * 36, что равно 2028, и это будет ответом.
⇢