До какого возраста мать- одиночка может взять оплачиваемый дополнительный отпуск?

Ни до какого, не предусмотрено такое законодательством. И слава Богу, сейчас матерей-одноНочек - не протолкнуться, впору нормальным матерям льготы давать.

а на каком основании у нее право на дополнительный ОПЛАЧИВАЕМЫЙ отпуск? у нее есть право на отпуск без сохранения заработной платы до исполнения ребенку 14 лет, как его единственному кормильцу, до 14 дней в год (суммарно) , в удобное время.

Не предусмотрено такого

все льготы до исполнения ребенку 14 лет, н такой льготы вообще нет.