Могут ли уволить одинокую мать с ребенком 4 года.

уволить мать-одиночку можно только в случаях, прямо, закреплённых в кодексе – статья 261 ТК РФ; женщине, имеющей статус матери-одиночки, должны предоставляться дополнительные отпускные дни – статья 263 ТК РФ.
Мать-одиночку могут уволить, лишь в случае грубого нарушения трудовой дисциплины: пьянство на работе, прогул, хищение и другие случаи, предусмотренные статьёй 261 ТК РФ.

малопочетное звание одноНочки не является правом нарушать закон, и не освобождает от ответственности.

Могут. Даже при сокращении штатов, если она имеете самую низкую квалификацию. Все преимущества действуют между работниками с раной квалификацией.