Можно ли работать с астмой в медицине??

да но не везде.

Через поцелуй это не передается

Смотря где и кем? Лучше узнать у своего лечащего врача...

Разной тяжести бывает астма. Есть врачи -профпатологи, они и дают заключение, где может или не может работать человек с определенным заболеванием.