Я хочу взять отпуск за свой счет по семейным обстоятельствам, но мне не дают. Имеют ли они права не подписывать отпуск?

отпуск без сохранения з/платы выдаётся по усмотрению руководителя. Захочет - разрешит. Не захочет - Ваши проблемы.
Больничный берите.