может ли мать одиночка получать льготы по месту проживания, а не по месту прописки.

Проще всего карточку оформить, вам будут начислять деньги на нее, при чем есть ряд банков которые не взымают проценты со снятия с социальных выплат. По месту проживания- не уверена, но все можно решить просто подойдя в ближайшее отделений пенсионного фонда или где там вы оформляете.

Нет. В каждом регионе свой набор льгот

Конечно же нет. Уточняйте по месту оформления льгот и пособий. Материально все просто - не такие уж это большие деньги, чтобы из-за них ежемесячно дергаться. А вот все остальное - просто не знаю.