У меня когда-то было расширение для мозиллы, кажется. Оно захватывало запущенное видео и его можно было скачать на комп. Хотел найти что-то подобное. Уже час наверное ищу и не могу найти (( Помогите!
Нет такого, которое "с любого сайта".
https://addons.mozilla.org/ru/firefox/extensions/download-management/
https://addons.mozilla.org/ru/firefox/addon/savefromnet-helper/?src=search
https://addons.mozilla.org/ru/firefox/addon/flashgot/?src=search
Такого, как вы хотите (чтобы вот прям все подряд скачивал) , в природе не существует 
А жаль. .
Аналогичные есть и для Chrome. Но какие-то, не знаю. . более убогие, что ли.
Вообще, Firefox лучше (ИМХО, агры, ИМХО).
Internet Download Manager - предназначен для организации загрузок файлов из Интернет.
http://issson.ru/load/internet/internet_download_manager_6_21_build_5_retail_new_patch/3-1-0-12059
Jaksta Media Recorder - лучшая программа для скачивания потокового видео из сети. В отличие от других захватывает и сохраняет защищенные RTMP и RTMPE потоки. В добавок есть возможность поиска видео, музыки, радио и конвертирования загруженного контента
http://badab.ru/load/jaksta_media_recorder_5_0_1_19_multi_rus/4-1-0-165
http://issson.ru/load/jaksta_media_recorder_5_0_1_19_multi_rus/3-1-0-11619
Сейв фром
может вот такая программа подойдёт YTD Video Downloader
⇢