Какова связь между законом сохранения момента количества движения и принципами симметрии?

Закон сохранения момента импульса связан с изотропностью пространства - то есть одной из симметрий. См. теорема Нетер.

Теоре́ма Эмми Нётер утверждает, что каждой непрерывной симметрии физической системы соответствует некоторый закон сохранения. Так, закон сохранения энергии
соответствует однородности времени, закон сохранения импульса —однородности пространства,закон сохранения момента импульса —изотропии пространства, закон сохранения электрическогозаряда — калибровочной симметрии и т. д.