что такое дуальный базис ?? понятным языком!!

Пусть задан базис. Компоненты вектора х в этом базисе: х1, х2, ..
Если базис ортонормирован, то скалярный квадрат (инвариант) вектора равен: (x1)^2+(x2)^2+...Или: х1х1+х2х2+ ..
Но если базис произвольный, то скалярный квадрат выражается сложнее - как квадратичная форма.
Пусть есть такой другой базис (компоненты х в нем - x'1, x'2, ..), в котором скалярный квадрат х выражается просто: x1x'1+x2x'2+...То есть, представление инварианта само инвариантно. Вот этот новый базис и является дуальным к первому. Представление вектора в одном базисе называется контравариантным, в другом - ковариантным.