Может ли иностранный гражданин имея вид на жительство, регистрацию в одном городе, работать без регистрации в другом?

Нет, не может. Где получил ВНЖ, там и обязан жить и работать. Если будет установлено, что не живёт по адресу регистрации - ВНЖ аннулируют, а на принимающую сторону возбудят уголовное дело по ст. 322.2 УК РФ за фиктивную регистрацию ИГ по месту жительства.