Есть ли в России банк, в котором можно открыть накопительный счет, и проценты шли не годовые, а помесячные?

Это называется ежемесячная капитализация

Таких предложений море, почти в каждом банке.
Причем, если Вы выбираете вариант причисления этих процентов к сумме вклада (капитализация) , а не отдельное накопление для снятия, то тогда по факту доходность превысит заявленную ставку. Например, при ставке 12% годовых и ежемесячной капитализации доходность за год составит уже 12,7%!
Я могу Вам подсказать как опытный вкладчик, финансист. Только нужно знать прежде всего город, сумму, срок, возможность пополнения. Ставки сейчас в России доходят до 15,55% годовых. Это надежный способ вложения, доход постоянен.
По поводу надежности напоминаю Вам, что сохранность средств вкладчиков гарантирована во ВСЕХ банках РФ в рамках государственной программы страхования вкладов, включая проценты, на сумму до 700 000 рублей! Т. е. ничем не рискуете в пределах этой суммы в любом банке. Говорю с полным знанием ситуации. И от инфляции сможете спасти свои сбережения, по крайней мере от официальной (ставки-то в 2 раза выше!) .
Будут вопросы - обращайтесь, всегда подскажу, опыт большой!