На моем экземпляре заявления об увольнении делопроизводитель поставил свои инициалы, число и дату. Имеет ли оно силу?

если оно не зарегистрировано в журнале как входящее, и на нем нет номера.... дело в том, что руководитель "потеряла" мое заявление

По закону да, а что решит суд неизвестно.

Вы не обязаны контролировать работу делопроизводителя, если он не справляется со своими должностными обязанностями. Вы ему документы сдали, на Вашем экземпляре есть его подпись и дата, этого хватает.