Сын хочет взять фамилию отчима. Ему непонятно, почему я, папа и сестренка на одной фамилии, а он на другой

Я верю, что его родной отец ему это всё объяснит. И тогда его отношение к матери может резко поменяться.
Ни как не поменять до 18 лет.

Статья 59 СК РФ. Изменение имени и фамилии ребенка
1. По совместной просьбе родителей до достижения ребенком возраста четырнадцати лет орган опеки и попечительства исходя из интересов ребенка вправе разрешить изменить имя ребенку, а также изменить присвоенную ему фамилию на фамилию другого родителя.
2. Если родители проживают раздельно и родитель, с которым проживает ребенок, желает присвоить ему свою фамилию, орган опеки и попечительства разрешает этот вопрос в зависимости от интересов ребенка и с учетом мнения другого родителя. Учет мнения родителя не обязателен при невозможности установления его места нахождения, лишении его родительских прав, признании недееспособным, а также в случаях уклонения родителя без уважительных причин от воспитания и содержания ребенка.
3. Если ребенок рожден от лиц, не состоящих в браке между собой, и отцовство в законном порядке не установлено, орган опеки и попечительства исходя из интересов ребенка вправе разрешить изменить его фамилию на фамилию матери, которую она носит в момент обращения с такой просьбой.
4. Изменение имени и (или) фамилии ребенка, достигшего возраста десяти лет, может быть произведено только с его согласия.

Фамилию можно поменять и без согласия отца, с разрешения органов опеки. Но шансов не слишком много.
Ps А что, так трудно сказать сыну, что у него, в отличие от сестреник целых 2 папы?

Если биологический отец против, то вам фамилию ребенку не поменять - п. 2ст. 59 СК РФ. Вы можете данным вопросом обратиться в орган опеки и попечительства, а также в суд.
Даю вам комментарий п. 2ст. 59 СК РФ читайте внимательно- 2. При раздельном проживании родителей тот из них, с которым ребенок

проживает постоянно, может просить о присвоении ему своей фамилии. Под своей

фамилией понимается та, которую носит заявитель (добрачная, приобретенная

в новом браке) . При этом не имеет значения, в каком по счету браке состоит

этот родитель. Главное, чтобы такая перемена была в интересах ребенка (не

травмировала бы его, соответствовала его желанию, привычкам, привязанности

к отчиму, мачехе и т. п.) .

Согласие другого родителя на изменение фамилии ребенка не требуется.

Но учесть мнение этого родителя, если он дееспособен, не лишен родительских

прав или не ограничен в них, необходимо. Подобного рода необходимость отпадает

и при невозможности установления места его нахождения, а также когда он без

уважительных причин не занимается воспитанием несовершеннолетнего, не содержит

его. Другими словами, мнение родителя, которому безразличен его ребенок, по

отношению к которому он своего родительского долга беспричинно не выполняет,

никакого значения не имеет, а потому нет надобности его выявлять.