Подскажите, если идти учиться во второй университет, то даёт ли он отсрочку от армии и можно ли поступить на бесплатный.

Отсрочка дается только один раз. Бесплатно можно получить только одно высшее образование. Отсрочку от армии можно получить, поступив после университета в аспирантуру.

есть отсрочка и есть бесплатные университеты, но если провалить экзамен на поступление, то заберут в армию

Второе высшее - только платно, отсрочки от армии нет.
Отсрочка от армии дается только 1 раз.