Поясните 5 высказывания Гёделя о неполноте!

Согласно Гёделю, "Если бы G можно было доказать в рамках теории, то в таком случае теория содержала бы теорему, которая противоречит сама себе, а потому теория была бы противоречива. "
Предположим, что высказывание может быть либо верным, либо неверным.
В случае, если оно верное, то исходя из логической структуры G можно построить такое высказывание, которое будет выходить за её рамки. Означает ли это исключение, ведь высказывание G охватывает все непротиворечивые и вычислимые теории, включая себя?
К тому же, согласно основной теореме Гёделя о неполноте, " любая вполне полезная теория, достаточная для представления арифметики, не может быть одновременно непротиворечивой и полной". Таким образом не существует вычислимой непротиворечивой теории, охватывающей полностью все множество всех теорий (что означает, что теоретическое пространство логики бесконечно и/или замкнуто, потому что должно противоречить себе согласно высказыванию выше) . Это означает, что и 5 теорема должна быть противоречива, чтобы охватывать все, или, наоборот, неполной, чтобы быть непротиворечивой. В любом случае получается исключение, что означает, что существует некая G, которую можно доказать в рамках самой себя и которая не является при этом противоречивой.
Теперь предположим, что 5 теорема ложная. Тогда все сводится к последнему предложению в предыдущем абзаце.

Кажется, что таким образом можно доказать, что 5 теорема противореча, но тогда можно признать, что она полная. Вместе с этим она не может быть полной, ведь она не охватывает некую G, являющуюся исключением-следствием ее собственного противоречия.

Это что, парадокс?