Если проблему заявитель и ответчик решили самостоятельно, может ли

ответчик после этого отозвать дело с суда, если дело уже заведено (Возмещение материального ущерба за ДТП)

Может отозвать. Точнее, заявить об отказе от иска и прекращении дела.

Имеет право в соответствии со ст. 39 ГПК РФ

Да. При этом истец вправе рассчитывать на возврат с бюджета госпошлины