Я нахожусь внутри объекта. Как узнать, двигается этот объект или нет?

Если Вы только что проснулись и Вас спросили, движемся мы или нет, то принципиально Вы никак не сможете определить это.
Но если Вас заранее предупредили о том, что на утро Вам зададут такой вопрос, то у Вас появляется шанс ответить на этот вопрос, но не всегда.
Все законы физики выполняются одинаково во всех инерциальных системах отсчета и плюс к этому все законы физики выполняются одинаково при действии силы гравитации и при действии одинаковой силы инерции.
Поэтому, если когда Вы проснулись, объект движется прямолинейно и равномерно относительно той системы отсчета, в которой Вы были перед сном, то Вы никакими экспериментами не обнаружите, что объект движется относительно той точки, где он был вчера.
Аналогично, если вчера объект находился в гравитационном поле, а на утро он движется с таким же ускорением, как ускорение свободного падения в том поле гравитации, то также никакими экспериментами Вы не сможете определить, находитесь ли Вы по прежнему неподвижно в поле гравитации или летите с ускорением.
Во всех остальных случаях Вам удастся определить, началось ли движение объекта, пока Вы спали. Для этого надо сравнить законы физики, которые были внутри объекта вечером и утром. Если законы физики выполняются одинаково, то это значит, что или объект не начал движение или начал движение, но Вы имеете дело с двумя случаями, описанными выше. В этом случае, Вы не отличите движение от покоя. Если законы физики выполняются по разному, то Вы поймете, что происходит движение относительно той точки в которой находился объект вчера.
Простой пример. Вчера у Вас была полная невесомость, а сегодня утром у Вас есть сила тяжести. Физика поменялась. Это означает, что сменился характер движения и объект не находится в состоянии покоя относительно той точки, где он был вчера.

P.S. У Вас вопрос слегка некорректен, так как нет абсолютного покоя. То есть различать надо разные характеры движения относительно друг друга. Если употребляете слово покой, то для полной ясности привяжите этот покой к чему-либо, например, к точке на поверхности Земли. Конкретно для случая точки на поверхности Земли покой и движение не отличаются, если движение идет параллельно поверхности Земли равномерно и прямолинейно (на малых масштабах) или если движение идет где-то между галактиками с ускорением равным ускорению свободного падения. Во всех остальных случаях Вы сможете отличить покой относительно этой конкретной точки от движения относительно этой конкретной точки.

если объект движется прямолинейно и равномерно и никаких других объектов вы не наблюдаете, то никак (принцип относительности СТО).

Невозможно, если он не испытывает ускорения, т. е. не взаимодействует с другими объектами.

Если тебя качает, тянет в какую-либо сторону -понятно, находишься внутри движущегося объекта. Если нет - только вырубить окно, как это сделал когда-то Петр Великий.