Можно ли на что-то претендовать?

К сожалению, НИКАКИХ прав собственности Вы не будете иметь, так как жилье не приватизированное.

Забудь! Как можно претендовать на чужое?? ?
Неприватизированная квартира- не подлежит никаким видам отчуждения, в том числе и наследии, кроме как - обмену на равноценную. Это МУНИЦИПАЛЬНАЯ квартира и на нее НИКТО не имеет прав, кроме как - власти.

Не можете

Если не будете зарегистрированы, то претендовть не на что.

На прописку требуется согласие всех прописанных. А раз не прописаны, то даже на приватизацию претендовать не можете. Так же не можете претендовать на расселение. Претендовать не на что.
Раз дом не полежит приватизации, значит он признан аварийным, а раз он признан таковым, то жильцы в течении 10 суток подлежат переселению...

А без регистрации ухаживать за больным человеком - слабо?:)

Нет не сможете, понятно, почему бывшая жена отца против вашего присутствия в доме. Если дом признан аварийным и подлежит расселению и сносу, она получит квартиру. Если папа тяжело больной человек, требующий постоянного ухода, вопрос о регистрации и совместном проживании нужно решать не с посторонним человеком - бывшей чьей-то женой, а в первую очередь с участковым врачом, оформляете документы о том, что отца нельзя оставлять одного по причине его тяжелого заболевания, а потому вы будете жить рядом и осуществлять уход.