⇢ 
Полина Тарасова
Татьяна ***
Так как 3n^2+105 =3(n^2+21) делится на 3, то достаточно доказать, что n^3+5n делится на 3.
Преобразуем
n^3+5n =n^3-n + 6n (6n - делится на 3)
n^3-n = n(n-1)(n+1). Из произведения 3-х последовательных чисел одно делится на 3.
Значит само произведение делится на 3.
РЗ
Руслан Зайцев
по индукции.
для n=1
1 +3 +5 +105 = 114 делится на 3
пусть данное утверждение верно и для n=k.
докажем, что верно и для n=k+1
(k+1)^3 = k^3 +3k^2 +3k +1
k^3 +3k^2 +3k +1 +3(k+1)^2 +5(k+1) +105 =
=k^3 +3k^2 +3k+1 +3(k+1)^2 +5k+5+105 =
= (k^3 +3k^2 +5k +105) + 3(k+1)^2 +3k +(5+1)
каждое слагаемое делится на 3.
тем самым доказали утверждение.
Похожие вопросы