О каком роде молитвы и пения говорит апостол Павел?

вот оно - пение духом, где ум не участвует:

http://www.youtube.com/watch?v=aB9KFTEMS78

Это мистический опыт такой.
Бога мы ощущаем сердцем - не анатомическим, а психологическим :). По неизвестной причине многие эмоции, например, нежность, радость, ощущаются в середине грудной клетки, причем эти ощущения невозможно привязать к какой-либо анатомической структуре. Вот и ощущение прикосновения Бога бывает там же.
В сердце при этом ощущается присутствие Бога и передача Ему через этот контакт нашего эмоционального состояния, ощущаемого там же. Иногда эта передача ритмом и еще какими-то трудноописуемыми характеристиками напоминает музыку или песню.
В ведической традиции духовное сердце называется Анахата-чакрой, но "Анахата" значит "звучащая". При пробуждении Кундалини и раскрытии этой чакры в ней слышны мистические звуки Нада. Я один раз слышала.

молиться духом, то есть дарованием, а также и умом, то есть мыслью, сознавать слова молитвы. Подобным образом и о пении.

Это молитва на иных языках и пение на иных языках. В этой молитве и пении ум не участвует. Все исходит как бы изнутри.

Кол. 3:16 Слово Христово да вселяется в вас обильно, со всякою премудростью; научайте и вразумляйте друг друга псалмами, славословием и духовными песнями, во благодати воспевая в сердцах ваших Господу.
Еф. 5:19 Назидая самих себя псалмами и славословиями и песнопениями духовными, поя и воспевая в сердцах ваших Господу,
В параллельных текстах сказано вышеследующее. Я думаю, пение духом - пение душой, сердцем, а не просто произнося слова песнопений, т. е. не машинальное пение, а пение с разумом, осознавая, что это не просто песня (типа юбочка из плюша) , а молитва и сллова к Богу обращенные

Как же не участвует? Молитва и песнопения - часть поклонения Создателю. А осуществляться оно должно "всей силою, всем разумом, всею крепостью... "как-то так. Если уж решили отблагодарить Небесного Отца, то зачем же кусочничать? Отдавайте всё, Иегова так отблагодарит, ни один человек так не сможет...