Является ли суд субъектом доказывания?

Конечно является. Вот, например что сказано в ч. 2 ст. 191 ГПК РФ:
"В случае, если суд во время или после судебных прений признает необходимым выяснить новые обстоятельства, имеющие значение для рассмотрения дела, или исследовать новые доказательства, он выносит определение о возобновлении рассмотрения дела по существу".

очевидно, что иметь возможность признавать необходимость выяснения новых обстоятельств можно лишь будучи субъектом доказывания.

Не является.

Не является.

на суде идет судебное следствие