Являются ли родственными слова лопата, нелепый, лепта? И почему? И почему?

Не являются. Это просто созвучные слова.

"Лепта" вообще не славянское слово. Греческое. Означает "мелкие монеты".

Все знают библейскую притчу о зарытом таланте, знают многие, так же как и о том, что "внести свою лепту" — оттуда же, из Библии. Но если талант был увесист, то лепта, наоборот, являлась самой мелкой монеткой, имеющей форму лопаты, топорика, мотыги и т. п. В переводе с греческого leptn, lepta как раз и означает тонкий, маленький, сразу возникают ассоциации с нелепицей, непригожестью. В иудейской денежной системе она равнялась примерно четверти нынешней копейки.
НЕЛЕПЫЙ-некрасивый, непригожий, неизящный, лишенный здравого смысла. Конечно, если вспомнить лепту библейской вдовы, она выглядела нелепой по сравнению с другими принесенными дарами. Слово ЛЕПО сложилось из двух корней, первый из которых означал понятие "оплакиваемый", а второй – "защищаемый". Всё вместе означало могильный камень, который клали на месте захоронения человека. Тяжёлая глыба придавливала закопанный труп и препятствовала тому, чтобы звери выкопали умершего из земли и растерзали. Итак, ЛЕПО – подобающе. НЕЛЕПО – неподобающе. Со временем о камне забыли, а слово осталось, хотя, как посмотреть, ведь внести свою лепту, хоть и малую, с уверенность можно говорить, что Вы поставили печать в завершение своего дела, т. е. положили камень на уста осуждающих (никто не скажет, что Вы ничего не дали или ничего не сделали) .
ЛОПАТА-Если не вдаваться в тонкости, можно сказать: "лоп-ат-а", буквально
"лапистая", "лапчатая". Образовано оно древнего "лопа" - "лапа". Отсюда же и такое веселое слово, как "лапта" (в древности оно звучало "лопта"),ПОМНИТЕ ДЕТСКУЮ ИГРУ... а ведь там каждый игрок как бы, вносит свою малую лепту, играя. Да и само слово Лапа, дать на лапу, опять указывает на лепту (деньги) и нелепость, что не мешает взяточникам эти деньги лопатой грести....))))))))))))))) )

P.S.
В заключение следует дополнить, что индоевропейское языковое единство могло иметь своим источником либо единый праязык, язык-основу (или, вернее, группу близкородственных диалектов) , либо ситуацию языкового союза как итога общего развития ряда первоначально различных языков, потому в русском языке встречается много родственных слов иноземного происхождения ( балтийских, славянских, фракийского, албанского с индоиранскими, италийских и кельтских - с германскими)

Открой Фасмера и проверь. Так наскидку ничего узнать нельзя, надо отслеживать когда и в какой форме эти слова появились в языке.