задачка по астрономии. Оценить максимальный размер астероида, с которого можно спрыгнуть в космос

Оцениваем.

Для того, чтобы «спрыгнуть в космос» с астероида и не вернуться обратно, нужно иметь 2- ю космическую скорость для данного астероида.

2 - я космическая скорость - наименьшая скорость, которую необходимо придать объекту (например, космическому аппарату) , масса которого мала по сравнению с массой небесного тела (в нашем случае – астероида) , для преодоления гравитационного притяжения этого небесного тела.

Для простоты считаем астероид сферическим.

v2 = √[2G M / R]

v2 – 2-я космическая скорость, M — масса астероида, R — радиус астероида G — гравитационная постоянная (6,67259•10−11 м³•кг−1•с−2)

вывод формулы элементарными средствами см. :
http://fizportal.ru/еscape-velocity

Прыгать будем на астероиде вертикально вверх. Сначала прыгнем в высоту на Земле.

Хорошие прыгуны на Земле преодолевают 2 м и больше. Однако центр масс спортсмена перёд прыжком находится на высоте около 1,2 м, в момент прохода над планкой – на высоте около 2 м, т. е. поднимается всего на 0,9 м.

Учтем глубину приседания (длину толчка) h перед прыжком. По данным института физкультуры им. Лесгафта, h ≈ 0,3 м.

Найдем силу ног прыгуна массой m = 60 кг, преодолевающего на Земле высоту 2 м, т. е. поднимающего центр масс на hЗ = 0,9 м за счет скорости, приобретенной на пути h = 0,3 м. Считаем силу ног постоянной, а сам процесс равноускоренным. Скорость отрыва прыгуна от Земли

vЗ = √[2ghЗ] = √[2 • 9,8 • 0,9] = 4,2 м/с.

Ускорение в толчке

aЗ = vЗ2 / 2 h = gЗ hЗ / h = 9,8 • 0,9 / 0,3 = 29,4 м/с2.

Сила, вызвавшая ускорение aЗ

QЗ = m • aЗ = 60 • 29,4 = 1700 Н.

Полную силу ног P0 найдем, прибавив силу тяжести прыгуна на Земле (PЗ = 600 Н) :

P0 = PЗ + QЗ = 600 + 1700 = 2300 Н.

Исходим из гипотезы, что сила ног у человека осталась на астероиде прежней.

Силу толчка QА на малом астероиде определим с учетом, что сила тяжести на астероиде PА очень мала по сравнению с QЗ. Тогда

QА = P0 – PА ≈ 2300 Н.

Ускорение в толчке (масса прыгуна m = 60 кг)

aА = QА / m = 2300 / 60 = 38 м/с2.

Скорость отрыва прыгуна от астероида

vА = √[2aА h] = √[2 • 38 • 0,3] = 4,8 м/с ≈ 5 м/с.

По условию задачи, для астероида это должна быть 2 – я космическая скорость

vА = v2 = √[2G M / R] = 4,8 м/с. ≈ 5 м/с.

Выразим R из данной формулы; массу астероида выразим через объем и плотность п, а объем шара через радиус R (считаем астероид сферическим) . Тогда

R = v2√[2 / 3 • π • G • п ] ≈ 270000 / √ п (м)

Считаем п = 2000 кг/м3 (характерно для малых астероидов) . Тогда

R = 270000 / √ 2000 ≈ 6000 м

Весьма подходит астероид № 434 «Венгрия» (Hungaria) главного пояса между орбитами Марса и Юпитера.

Диаметр 11 км, масса 1,39 •10 в 15 степени кг, плотность 2000 кг/м³, ускорение свободного падения на поверхности 0,031 м/с², 2-я космическая скорость 5,8 м/с.

http://ru.wikipedia.org/434_Венгрия