Вопрос несколько провокационен по сути - попытка заставить людей Средневековья мыслить современными категориями! Что значит "объединиться" с точки зрения русского князя? Это - "встать под чью-то руку", признать власть кого-то над собой, с вероятной потерей самостоятельности в будущем.
Вообще-то вторжение монголов на Русь было явлением скорее "природного" порядка, что-то вроде урагана или наводнения. С ним бессмысленно было бороться военной силой, любое сопротивление было обречено. Почему? Потому что армия, созданная Чингиз-ханом, была идеальной, "имперской" военной машиной, намного опередившей свое время. Уверен, она неплохо смотрелась бы и на полях сражений Наполеоновских войн.. . Железная дисциплина, доведенное до автоматизма маневрирование огромных воинских масс не оставляли в бою некаких шансов любой рыцарской армии средневековой Европы с их погоней за личной славой и весьма условным подчинением военначельнику и битва при Лигниге это прекрасно продемонстрировала. А русские княжеские дружины и были рыцарскими армиями. Что было бы, если бы русские князья объединились и дали "генеральное сражение" (кстати, опять попытка мыслить категориями современности...) ? Была бы вторая Калка.. . "Помогать осажденным городам" - так помогали.. . Только в рамках одного княжества. Русские князья были людьми чести (в большинстве) и своих в беде не бросали. И погибали вместе с городами. "Изматывать врага по лесам" - просто глупость. Русичи от татар по лесам прятались, а те туда особенно и не совались, леса их мало интересовали. "Зимой конное войско не решится на вторжение" - еще одна глупость! Именно зимой татары на Русь и приходили! Весной и осенью - распутица, летом урожай еще не собран, зимой - самое время! Реки зимой замерзали и становились отличными дорогами. Монгольские лошади снега не боялись, в степях бывают снежные зимы, они умели выкапывать траву из-под снега. Так что всему свое время, и времена не выбирают. Русские люди не задавали себе вопросов в стиле "Какая стратегия выгоднее, чтобы выжить? ". На их землю пришел жестокий враг и они встретили его с оружием в руках.
О Византии. На эту тему написано множество книг и коротко здесь не ответишь. Русь взяла у Византии христианскую традицию, а вместе с ней - положение о том, что верховная власть - от Бога. Базилевс - помазанник Божий. Отсюда - чрезмерная централизация, "имперскость" власти. Как отрицательное следствие - пышный "царский двор", множество "прихлебателей", придворные интриги, которые до сих пор называют "византийскими".