У меня военный билет по здоровью, могу ли я пойти в таможенные органы?

Нет, в силовые структуры дорога закрыта.
Надо выбирать- или тащиться от того. что откосил от армии, или отслужить и иметь нормальную работу.

Если папа - не глава "органов" - то нет.