Если кошка кусает меня за руки и ноги, это нормально?

если маленькая то да

Если молодая, то конечно может кусаться, но нужно отучать. А еще они так делают когда есть просят.

нормально она играет, ну или злиться
если играет тогда купите ей игрушки и играйте с ней игрушками,
а если злиться тогда ненадо злить

Если кроха ещё - то это в порядке вещей!
А если уже в возрасте, то надо посоветоваться с ветеринаром! Аккуратней у кошек очень вредная слюна, прокусит кожу и если попадет, то какая-нибудь инфекция вам обеспечена! Даже если она привита и из дома никуда не выходит!

она может страдать бешенством лучше покажите её ветиринару так будет спокойней для вас